Для построения составных предложений чаще всего используются связки - И (&&, конъюнкция) и ИЛИ (||, дизъюнкция). Смысл связки И - тот же, что и в разговорной речи: конъюнкция двух предложений истинна тогда и только тогда, когда они оба истинны. Связка ИЛИ "двойственна" связке И: дизъюнкция двух предложений ложна только если они оба ложны.
Дизъюнкция нескольких предложений ложна тогда, когда все они ложны. Рассмотрим, например, утверждение "Плата за подписку снижена для студентов, лиц моложе 21 года и безработных". Согласно ему, приходится платить полную цену, только если все три исключения нарушены. Аналогичное обобщение верно и для связки И. Конъюнкция нескольких предложений истинна, только если все они истинны.
Кроме И и ИЛИ, имеется еще модификатор НЕ (!, отрицание) результат применения которого противоположен его аргументу: !T = F, !F = T. В математической литературе для обозначения отрицания выражения проводят горизонтальную черту над ним.
Значения логических выражений, содержащих связки И, ИЛИ и модификатор НЕ, вычисляются с помощью так называемой таблицы истинности:
| A | B | A && B | A || B | ! A |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | F |
| T | F | F | T | F |
| F | T | F | T | T |
| F | F | F | F | T |
Последовательность выполнения операций при отсутствии скобок в сложных логических формулах определяется старшинством операций (приоритетом). Наивысший приоритет имеет отрицание, затем следует конъюнкция и, наконец, дизъюнкция.
Пример
Вычислить значение логической формулы !X && Y || X && Z
при следующих значениях переменных: X = F, Y = T, Z = T.
Решение
Отметим цифрами порядок выполнения операций:
1 2 4 3 ! X && Y || X && ZИспользуя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам:
1) !F = T; 2) T && T = T; 3) F && T = F; 4) T || F = T.Итак, формула при данных значениях аргументов принимает значение T.
Задание
Определите значение логического выражения !(X>Z) && !(X=Y), если:
1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19;